Os dados ficam em mensagens.json na pasta do projeto (um array JSON).
Recomendado: na pasta do projeto rode npm start e abra o URL do terminal (ex.: http://127.0.0.1:3333). Cada «Salvar» grava no mensagens.json.
Live Server: pode manter a página em outra porta, mas deixe sempre o npm start aberto — a gravação vai para o Node (não para o Live Server), na mesma pasta.
Alternativa (Chrome / Edge): «Abrir arquivo…» no seu mensagens.json para editar esse arquivo diretamente.